数学|跨世纪的两位数学巨人—庞加莱与希尔伯特，“之后再无数学家”( 二 ) 数学

庞加莱在探索了这个结果及其他结论之后，继续研究高次方程。尽管不能证实像他对二维所得出的结果那样广泛的一组结果，但他把利用超曲面的技术一般化了，并强化了奇点与超曲面的贝蒂数之间的关系。
在研究微分方程的很多其他成果当中，我们仅援引几例。他最早的成果之一涉及到线性方程和非正则奇点的邻域；在这方面，他提供了把方程展开为渐近级数的一个开拓性的实例。 1884年，他转向了在复数域上有固定奇点的一阶微分方程的研究。皮卡在他的二阶方程研究中利用了这一工作。庞加莱在这方面的工作，也是保罗·潘勒韦对有或没有（活动）奇点的非线性二阶方程所作的深度研究的基础。庞加莱后来在常微分方程和偏微分方程领域的工作大多跟物理应用有关，尤其是在天体力学和n体问题中。
数学物理学及其他应用
一位同时代人这样说他：“他是个征服者，不是个殖民者。 ”他在巴黎大学的讲课每个学年都会讲不同的主题———毛细管作用、弹力、热力学、光学、电学、电报学、宇宙进化论，等等；表述极其精彩，在很多情况下，课堂上讲过之后不久，讲稿就被付梓印行。仅在天文学领域，他就出版了6大卷———《天体力学新方法》和《天体力学教程》。尤为重要的是他解决三体问题及其一般化时所使用的方法。对于宇宙进化论来说， 1885年的一篇论文也很重要，在这篇论文中，他证明了，一个梨形，通过一个服从于牛顿引力并绕一根轴匀速旋转的均质流体来呈现，就可以是一个相对均衡的图形，梨形地球的问题至今依然在引发测地学家的兴趣。
有趣的是，庞加莱像拉普拉斯一样，也撰写了大量论述概率的作品。在某些方面，他的工作只是拉普拉斯和19世纪分析学家们的工作的自然继续；但是，庞加莱是双面的，在某种程度上预示了作为20世纪典型特征的对拓扑学的强烈兴趣。拓扑学不是任何一个人的发明，某些拓扑问题在欧拉、莫比乌斯和康托尔的作品中可以找到，就连“拓扑”这个词，也早在1847年被J.B.利斯廷用在一本书的标题《拓扑学概论》中。但作为这门学科开始的日期，最恰当的莫过于1895年，庞加莱在这一年出版了他的《拓扑学》。这本书第一次提供了系统的发展。
拓扑学
拓扑学如今是一个宽泛而重要的数学分支，有许许多多的方面；但它可以细分为两个截然不同的子分支：组合拓扑学和点集拓扑学。庞加莱对后者没有多大的兴趣， 1908年，当他在罗马对国际数学家大会致辞时，把康托尔的集合论称作是一种病，后来的几代人会自认为已经治好了这种病。
组合拓扑学研究的是在连续的一一变换下保持不变的空间构型的内在定性方面。它常常被通俗地称作“橡皮几何学” ，因为，比方说，一个气球的变形（不刺破或撕破它）就是拓扑变换的实例。例如，一个圆在拓扑上等于一个椭圆；一个空间的维度是一个拓扑不变量，简单多面体的笛卡尔—欧拉数N_0-N_1+N_2也是如此。在庞加莱对拓扑学的原创性贡献当中，包括笛卡尔—欧拉多面体公式针对高维空间的一般化，利用了他所谓的“贝蒂数” ，这个名称为的是纪念意大利数学家恩里科·贝蒂。
然而，大多数拓扑处理的是数学中的定性方面，而不是定量方面，但在这方面，它跟19世纪分析学中盛行的风格背道而驰。庞加莱似乎因为试图对微分方程求积定性而把注意力对准组合拓扑学。像黎曼一样，庞加莱也尤其擅长处理拓扑性质的问题，比如找出一个函数的属性，而不

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