数学|跨世纪的两位数学巨人—庞加莱与希尔伯特，“之后再无数学家”( 三 ) 数学

操心它的古典意义上的形式表示，因为这两个人都是有着健全判断力的直觉主义者。假如庞加莱对拓扑学的兴趣继续下去的话，他可能抢先对这一数学分支做出更多的贡献，这一领域是20世纪最受青睐、最有成果的研究路线。然而，他那永不停歇的头脑不停地忙于思考世纪之交物理学和数学领域所发生的每一件事情，从电磁波和X射线，到量子论和相对论。
庞加莱声称，他接触过的几乎每个问题都把他带向拓扑学。我们在他对微分方程的攻克中已经看到过一个例证。在世纪之交前后的那十年，他发表了一系列关于拓扑学的论文。这些论文成了20世纪组合拓扑学或代数拓扑学的基础。在这方面，他详细阐述了一些源自黎曼和贝蒂的概念，我们在他论述微分方程的作品中已经遇到过这些概念：把一个图形当作n维流形来处理，并考虑连通性的阶。他提出了单纯同调理论的基本定义和定理；他确立了一个流形的基本群与第一贝蒂数之间的关系；他还指出了涉及贝蒂数的进一步的关系。这些论文所包含的一些定理和猜想导致了20世纪拓扑学家后来的很多探索。
希尔伯特?
大卫·希尔伯特和伊曼纽尔·康德一样，出生于东普鲁士的哥尼斯堡，但有一点不像康德：他到处旅行，尤其是出席国际数学家大会，这一盛会已经成为20世纪的典型特征。希尔伯特除了在海德堡大学师从分析学家拉扎勒斯·富克斯度过了一个学期之外，多是在哥尼斯堡大学获得了数学训练。这所大学最重要的数学教授是海因里希·韦伯，他曾在戴德金的鼓励下转向了代数和数论中抽象概念的研究。韦伯在19世纪80~90年代为群和域提出了一些最早的定义，是一部著名的、很有影响的三卷本代数学教科书的作者。 1883年，韦伯离开了哥尼斯堡大学。他的继任者林德曼刚刚发表了π的超越性证明。林德曼建议希尔伯特以不变量理论作为他博士论文的主题，并鼓励了希尔伯特在这一领域的早期工作。
希尔伯特对不变量的兴趣得到了另外两个人进一步的激励，这两个人在年龄上跟他更接近，他在19世纪80年代跟他们有过大量的交往。其中一位是阿道夫·赫维茨，他曾师从费利克斯·克莱因，并在1884年加入哥尼斯堡大学成为林德曼的同事，另一位是赫尔曼·闵可夫斯基，他在1893年4月（当时他还是个学生）因为一篇论述整数分解为5个平方数之和的论文而获得了巴黎科学院的数学大奖。
不变量理论
希尔伯特在1892年之前主要研究不变量理论；他对这一课题最重要的贡献是在1890和1893年发表的。要理解它们在不变量理论历史中的地位，一个很有用的方法就是读一读希尔伯特自己为1893年的国际数学家大会准备的对这一理论的介绍。
希尔伯特1888年的著名成果被称作“基本定理” 。它作为论文《论代数形式理论》的定理1发表在1890年的《数学年刊》上。希尔伯特把一个代数形式定义为一个某些变量的整有理齐次函数，它的系数是某个“有理域”中的数。该定理声称：对于任何有n个变量x1、x2、… ， xn的形式所组成的无穷序列S=F1、F1、…Fn ，都存在一个数m ，使得该序列中的任何一个形式都可以表示为：

式中， A_i是有相同n个变量的形式。希尔伯特把这个结果应用于证明对于任意多个变量的形式所组成的系，存在一个不变量的有限完全系。他在1893年发表的一篇很有影响的论文《论不变量的完全系》中，发展出了解决不变量理论问题的新方法。他强调，这一方法根本上不同于他的前辈们的方法，因为他把代数不变量理论当作代数函数域的一般理论的组成部分来处理。

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