希尔伯特与分析学
希尔伯特的分析学主要围绕积分方程的研究 。 然而 ， 在他对这一课题做出贡献之前 ， 他首先“复活”了狄利克雷原理 。 在狄利克雷原理遭到批评之后 ， 人们试图证明其有效性的努力只取得了部分成功 。 在这方面 ， 最后一次重要的努力是庞加莱在1890年发表的一篇论文 ， 这篇论文包含了他匠心独运的“扫除”法 。 接下来 ， 希尔伯特把它作为变分法中的一个问题来处理 ， 从而就其最一般的形式证实了狄利克雷原理 。 首先 ， 他概述了极小曲线存在的推定证明；然后 ， 他展示了如何推断出一个最小化对于平面域的狄里克雷区域的函数的存在 。 紧接着这篇文章之后 ， 美国人W.F.奥斯古德在次年发表了一篇可读性很强的文章 ， 介绍魏尔斯特拉斯对这个问题的评论；1904年 ， 希尔伯特本人在一篇更详细的论文中阐述了他的论证 。
正是在这一时期 ， 也就是在1901年 ， 积分方程的问题吸引了希尔伯特的关注 。 他的一位斯堪的纳维亚学生提交了一篇研讨班报告 ， 这篇报告赖以建立的基础是他在斯德哥尔摩的老师伊瓦尔·弗雷德霍姆在这一领域所做的工作 。 希尔伯特的成果 ， 最早发表于1904至1910年之间 ， 收集在一本书中 ， 这本书出版于1912年 ， 旨在提出一套线性积分方程的系统理论 。 他的工作得到了爱尔哈德·施米特的简化 。 有趣的是 ， 当希尔伯特就这一课题取得的进展中 ， 他的很粗糙的新方法常常会与其他人所完成的精细化和一般化之间的相互作用 。 事实上 ， 这项工作在今天的巨大价值在于下面这个事实：20世纪很多最重要的观念就来自于它 ， 这些观念对于抽象的线性空间和范围的研究是基础性的 。
华林问题与希尔伯特1909年之后的工作
大概是为了放松一下他在积分方程领域有点繁重的工作 ， 希尔伯特在这一时期回到了数论领域 ， 并证明了华林定理：每个正整数都可以表示为最多m个n次幂之和 ， 式中 ， m是n的函数 。 这一胜利被他的好友闵可夫斯基在1909年代意外去世给冲淡了 ， 它标志着希尔伯特创作他最关注的纯数学作品的时期的终结 。
接下来的10年 ， 希尔伯特的很多时间都花在了数学分析上 。 随着爱因斯坦广义相对论的发表 ， 希尔伯特便转向了这个课题 ， 他的同事费利克斯·克莱因也专注于这一课题 。 有趣的是 ， 从这一努力中产生出来的最持久的贡献来自于一个最近忙于研究微分不变式的代数学家 。 此人就是代数几何学家马克斯·诺特的女儿艾米·诺特 ， 希尔伯特和克莱因设法让她来到了哥廷根大学 ， 作为他们在这项研究中的助手 。 她的成果出版于1918年；最有名的是“诺特定理” ， 至今在对某些不变式与守恒定律之间的一致性的讨论中依然被引用 。
希尔伯特在数学物理学领域着手他的研究 ， 希望实现他在1900年所号召的公理化 。 在处理量子力学的最后一部物理学作品中 ， 他最接近于这个目标 。 因为到这一时期希尔伯特开始出现严重的健康问题 ， 这项研究是与两个年轻人合作进行的 ， 他们是L.诺德海姆和约翰·冯·诺依曼 。
【数学|跨世纪的两位数学巨人—庞加莱与希尔伯特，“之后再无数学家”】希尔伯特在算术和逻辑学的公理化上付出最后的巨大努力 ， 其主要成果也是以他的继任者们所赋予它们的形式传到了我们手上 。 它们被收入在包罗广泛的专著《数学基础》和《数理逻辑基础》中 ， 它们更多地因为合著者的名字而被称作希尔伯特—伯奈斯和希尔伯特—阿克曼 。
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