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数学|跨世纪的两位数学巨人—庞加莱与希尔伯特，“之后再无数学家”( 四 )

数学


希尔伯特的《代数数域理论》
在德国数学学会1893年的会议上 ， 希尔伯特和闵可夫斯基被要求为该学会的《年报》撰写一篇关于数论的报告 。 结果 ， 希尔伯特的作品《代数数域理论》成了一部经典 ， 它通常被称作《数论报告》 。 闵可夫斯基当时正在埋头撰写《数的几何学》 ， 因此退出了这一计划 ， 不过 ， 他在希尔伯特的手稿上提供了一些关键性的注释 ， 在闵可夫斯基1909年过早去世之前 ， 他对希尔伯特的大多数手稿都做过同样的事情 。
希尔伯特在《数论报告》的导论中表达了一个观点 ， 这个观点后来成了他的作品和他的影响的典型特征 。 这个特征就是强调数学的概念和理论的抽象、算术化和逻辑发展 。 希尔伯特注意到 ， 对于理解数论的真理来说 ， 只需要极少的先决条件 ， 但要想充分掌握算术概念和证明技术 ， 却需要高度的抽象 ， 于是他表达了这样一种观点：数学的其他所有分支 ， 倘若你想让这些分支经受同样严谨而彻底的研究 ， 则至少需要同样高度的抽象 。
他看到了 ， 在他的有生之年 ， 数学的发展都是在数的引导下发生的：据希尔伯特说 ， 戴德金和魏尔斯特拉斯对算术基本概念的定义和康托尔的作品导致了一次“函数理论的算术化” ， 与此同时 ， 关于非欧几何的现代研究 ， 连同它们对严谨逻辑的发展和数的概念的清晰引入的关注 ， 导致了“几何学的算术化” 。 希尔伯特在这份报告的主体部分 ， 尝试着提出代数数域的逻辑理论 。 他把最近的前辈和同时代人的工作纳入到了他包罗广泛的论述中 ， 同时还包括了他自己的一些成果 。 在19世纪90年代 ， 希尔伯特又对这一课题贡献了几篇论文；这些论文是他在获得各种数域上二次倒数的一般化法则这个方向上最成熟的努力 。 在进入20世纪之后 ， 除了一个引人注目的例外之外 ， 希尔伯特在数论领域再也没有产生新的成果 。
几何学的基础
希尔伯特的工作往往在某个时期集中于一个课题 ， 《数论报告》完成之后他便转向了几何学 。 1894年 ， 他讲授非欧几何 ， 1898~1899年间他拿出了一本篇幅很小但很有名的著作 ， 题为《几何基础》 。 这部作品被翻译成了一些主要的语言 ， 对20世纪的数学发挥了强有力的影响 。 通过对分析学和皮亚诺公理的算术化 ， 大多数数学———除了几何学之外———都有了严格的公理基础 。 19世纪的几何学前所未有地繁荣兴旺 ， 但主要是在希尔伯特的《几何基础》中 ， 才第一次努力赋予它代数学和分析学中所具有的那种纯形式品格 。
诚然 ， 欧几里得的《几何原本》有一个演绎结构 ， 但它充满了隐藏的假设、没有意义的定义以及逻辑上的不完备 。 希尔伯特懂得 ， 数学中并非所有术语都可以被定义 ， 因此 ， 他开始用3个未定义的对象（点、直线和平面）和6种未定义的关系（在上面、在里面、在之间、全等、平行和连续）来处理几何学 。 希尔伯特为他的几何学构想了21个假设 ， 用来取代欧几里得的5个公理和5个公设 ， 打那以后 ， 这组假设被称作希尔伯特公理 。 其中8个涉及到关联 ， 并包括了欧几里得的第一公设 ， 4个涉及次序属性 ， 5个涉及全等 ， 2个涉及连续性（欧几里得没有明确提到的假设） ， 1个是平行公设 ， 本质上相当于欧几里得的第五公设 。 追随希尔伯特的开拓性工作 ， 其他人又提出了几套可供选择的公理；几何学以及其他数学分支纯形式的演绎品格自20世纪初之后便完全确立了 。
希尔伯特通过他的《几何基础》成了“公理学派”的主要倡导者 ， 这一思潮对于塑造当代人的数学看法和数学教育上很有影响 。 《几何基础》开篇便是一句引自康德的格言：“一切人类知识都是从直觉开始 ， 接下来是概念 ， 最后终止于观念” ， 但希尔伯特对几何学的发展证实了与康德截然相反的观点 。 这本书强调 ， 几何学中任何未定义的术语 ， 都不应该被假设为具有任何超出公理中所表明的属性 。 直觉—经验层面的古老几何观必须被忽略 ， 点、直线和平面应该仅仅理解为某些给定集合的元素 。 集合理论 ， 在接管了代数学和分析学之后 ， 如今开始入侵几何学的地盘 。 同样 ， 未定义的关系应该被视为抽象概念 ， 仅仅表示对应或映射 。

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