希尔伯特问题
对一届国际数学家大会的贡献 ， 最著名的大概莫过于希尔伯特在1900年巴黎举行的第二届大会上所发表演讲 。 希尔伯特的演讲题为《数学问题》 。 演讲包括一篇导言 ， 这篇导言后来成了数学修辞的经典 ， 接下来列出了23个问题 ， 打算充当某一类问题的实例 ， 对这类问题的处理将导致这门学科的进一步发展 。 事实上 ， 在赫维茨和闵可夫斯基的建议下 ， 希尔伯特删减这篇演讲的口头版本 ， 使得它只包含23个问题当中的10个 。
尽管希尔伯特反对这样一种观点：只有算术概念才经得起充分严谨的处理 。 但他承认 ， 柯西、波尔查诺和康托尔对算术连续统的发展是19世纪两项最值得注意的成就之一（另一项成就是高斯、波约和罗巴切夫斯基的非欧几何） 。
- 因此 ， 23个问题中的第一个问题就涉及到实数连续统的构建 。 问题由两个相关部分组成：（1）在一个可数集的基数与连续统的基数之间是否存在一个超限数 ， （2）数值连续统能否被视为一个良序集？
- 希尔伯特的第二个问题也曾被19世纪严谨时代有所暗示 ， 它问的是：是否能证明算术公理是一致的———即：基于这些公理的有限多个逻辑步骤决不可能导致矛盾的结果 。
- 接下来的三个问题 ， 问题三、问题四和问题五 ， 属于那些在实际宣读论文时删去了的问题 。 问题三是几何问题：给出两个等底等高的四面体 ， 它们不可能分解为全等的四面体 ， 不管是直接全等还是通过邻接全等 。 正如希尔伯特所指出的那样 ， 这个问题可以追溯到高斯在他的通信中所提出的一个问题 。 希尔伯特的学生马克斯·德恩在1902年给出了否定的回答 ， 1903年被W.F.卡根清楚阐明了 。
- 问题四阐述得有点粗略 ， 它要求这样的几何学：如果保留次序和关联的公理 ， 弱化全等公理 ， 忽略平行公理的等价物 ， 其公理“最接近于”欧几里得的几何学 。 最早的回答是希尔伯特的另一个学生G.哈默尔在他的博士论文中给出的 。
- 问题五被证明更有影响 ， 也更加困难 。 这个问题是：是否可以避开函数可微性的假设来定义一个连续的变换群 。 人们把这个问题跟早期的拓扑群论紧密联系在一起 。 李氏连续变换群对于可微运算来说局部是欧氏的 。
- 第六个问题是物理学的公理化 ， 希尔伯特本人曾在这个问题上做出过一些努力 。 问题七问的是：αβ这个数（α是代数数且不是0和1 ， β是无理代数数）是不是超越数 。 希尔伯特换用几何的形式 ， 这样问：在一个等腰三角形中 ， 如果顶角与底角的比是无理代数数 ， 则底与一边之比是不是超越数 。
- 希尔伯特的第八个问题只不过重提了一个19世纪所熟悉的问题 ， 要求证明黎曼猜想：除了负整零点之外 ， zeta函数的零点的实数部分全都等于1/2 。 他觉得 ， 对这个猜想的证明可能导致关于素数对无穷性的猜想的证明；但至今尚没有人给出证明 ， 尽管自黎曼冒险提出这个猜想以来已经过去了一个多世纪 。
- 第九个问题要求数论互反律的一般化 。 第十个问题是丢番图方程的判定问题 。 第十一个问题要求把针对二次域所获得结果扩大到任意代数域 。 第十二个问题要求把克罗内克的定理扩大到任意代数域 。
- 在这些数论问题之后 ， 紧接着是第十三个问题：要求证明通过两个变量的函数解一般七次方程的不可能性；第十四个问题关于相对整函数系的有限性；第十五个问题要求给出舒伯特的枚举几何的正当理由 。
- 第十六个问题是号召发展实代数曲线和曲面的拓扑学；第十七个问题要求用平方数表示具体的形式；第十八个问题对于用全等多面体构建空间提出了挑战；第十九个问题处理的是关于变分问题解法的解析性质 。 跟这个问题密切相关的是第二十个问题 ， 涉及一般边界问题 。 第二十一个问题希尔伯特自己在1905年解决了 ， 问的是有一个给定单值群的微分方程的解法 。 第二十二个问题是均匀化问题 ， 最后一个 ， 也就是第二十三个问题要求扩展变分的方法；最近这些年 ， 人们把这个问题跟最优化问题的研究联系在了一起 。
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