(二)整体感知
对于一组数据来说 ， 我们除了关心它的集中趋势以外 ， 还关心它的波动大小.衡量这个波动大小的最常用的特征数 ， 就是方差和标准差.
(三)教学过程
1.请同学们看下面的问题：(用幻灯出示)
两台机床同时生产直径是40毫米的零件 ， 为了检验产品质量 ， 从产品中各抽出10件进行测量 ， 结果如下(单位：毫米)
机床甲
40
39.8
40.1
40.2
39.9
40
40.2
39.8
40.2
39.8
机床乙
40
40
39.9
40
39.9
40.2
40
40.1
40
39.9
上面表中的数据如图所示
教师引导学生观察表格中的数据和图 ， 提出问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符合规定方面 ， 哪个机床做得好呢?
对于这个问题 ， 学生会马上想到计算它们的平均数.教师可把学生分成两级分别计算这两组数据的平均数.(请两名同学到黑板计算)
计算的结果说明两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米.这时教师引导学生思考 ， 这能说明两个机床做的一样好吗?不能!我们再观察上图(给学生充分的时间观察 ， 找出左右两图的区别)从图中看到 ， 机床甲生产的零件的直径与规定尺寸偏差较大 ， 偏离40毫米线较多;机床乙生产的零件的直径与规定尺寸偏差较小 ， 比较集中在40毫米线的附近.这
说明 ， 在使所生产的10个零件的直径符合规定方面 ， 机床乙比机床甲要好.
教师说明：从上面看到 ， 对于一组数据 ， 除需要了解它们的平均水平外 ， 还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小).
通过引例的学习 ， 使学生理解为什么要研究数据波动的大小 ， 为提出方差概念做好了准
备.
2.方差概念
教师讲解 ， 为了描述一组数据的波动大小 ， 可以采用不止一种办法 ， 例如 ， 可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值 ， 再取其平均数 ， 用这个平均数来衡量这组数据的波动大小 ， 通常 ， 采用的是下面的做法：
设在一组数据 中 ， 各数据与它们的平均数 的差的平方分别是 ， 那么我们用它们的平均数 ， 即用
③
来衡量这组数据的`波动大小 ， 并把它叫做这组数据的方差.一组数据方差越大 ， 说明这组数据波动越大.教师要剖析公式中每一个元素的意义 ， 以便学生理解和掌握.
在学生理解方差概念时 ， 可能会提出疑问：为什么要这样定义方差?(教师说明 ， 在表示各数据与其平均数的倔离程度时 ， 为了防止正偏差与负偏差的相互抵消)为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值 ， 而要将它们平方?(教师说明 ， 这主要是因为在很多问题里 ， 含有绝对值的式子不便于运算 ， 且在衡量一组数据波动大小的“功能”上 ， 方差更强些)为什么要除以数据个数n?(是为了消除数据个数的影响).
在学生理解了方差概念之后 ， 再回到了引例中 ， 通过计算机床甲、乙两组数据的方差 ， 再根据理论说明哪个机床做得更好.
教师范解
从 知道 ， 机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大.
这样做使学生深刻体会到数学来源于实践 ， 又反过来作用实践 ， 不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣 ， 而且培养了学生应用数学的意识.
3.例1 (用幻灯出示)已知两组数据：
甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7
乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1
分别计算这两组数据的方差.
让学生自己动手计算 ， 求平均数时激发学生用简化公式计算 ， 找一名好学生到黑板计算.
解：根据公式②(取 ) ， 有
从 知道 ， 乙组数据比甲组数据波动大.
4.标准差概念
在有些情况下 ， 需要用到方差的算术平方根
④
并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.
教师引导学生分析方差与标准差的区别与联系：
计算标准差要比计算方差多开一次平方 ， 但它的度量单位与原数据一致 ， 有时用它比较方便.
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